设函数f(x)=2lnx+x2﹣2ax(a>0).
(Ⅰ)若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为0,求实数a的值;
(Ⅱ)若x1,x2(x1<x2)是函数f(x)的两个极值点,且f(x1)﹣f(x2)>m恒成立,求实数m的取值范围.
考点分析:
利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
求可导函数单调区间的一般步骤和方法
1、确定函数f(x)的定义域;
2、求f′(x),令f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实数根;
3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;
4、确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.
题干分析:
(Ⅰ)求导数,分类讨论,确定函数的单调性,利用函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为0,求实数a的值;
(Ⅱ)f(x1)﹣f(x2)=(2lnx1+x12﹣2ax1)﹣(2lnx2+x22﹣2ax2)=1/x12﹣x12+2lnx12,令x12=t,则t>1,g(t)=1/t﹣t﹣2lnt,x,求导,确定函数的单调性,求最值,即可求实数m的取值范围.
解题反思:
本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性与最值,正确构造函数,合理求导是关键.
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