已知f(x)=(2+lnx2)/x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若不等式ex(2x3﹣3x2)﹣lnx﹣ax>1恒成立,求a的取值范围.
考点分析:
导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性.
在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0f(x)在(a,b)上为增函数.
f′(x)≤0f(x)在(a,b)上为减函数.
求可导函数单调区间的一般步骤和方法
1、确定函数f(x)的定义域;
2、求f′(x),令f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实数根;
3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;
4、确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。
题干分析:
(1)利用导函数的符号判断函数的单调性,求解单调区间即可.
(2)由不等式ex(2x3﹣3x2)﹣lnx﹣ax>1恒成立,得到ex(2x2-3x)-a>(lnx+1)/x
恒成立,设g(x)=ex(2x2-3x)-a,h(x)=(lnx+1)/x
求出g’(x)=ex(2x2+x-3)=ex(2x+3)(x-1),h’(x)=-lnx/x2
利用函数的单调性求出函数的最值,即可求解a的范围.
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