已知函数f(x)=xsinx+cosx.
(1)当x∈(π/4,π)时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若存在x∈(π/4,π/2),使得f(x)>kx2+cosx成立,求实数k的取值范围.
考点分析:
利用导数研究函数的单调性.
题干分析:
(1)求出函数的导数,通过讨论x的范围,求出函数的单调区间即可;
(2)分离参数,问题转化为k<sinx/x.令h(x)=sinx/x,则h’(x)=(xcosx-sinx)/x2,根据函数的单调性求出h(x)的最大值,从而求出k的范围即可.
解题反思:
导数作为微积分的核心概念之一,进入高中新教材,给传统的中学教学内容注入了生机和活力,为中学数学问题的研究提供了新的平台。
函数是高中数学教学的主干线,同时历年高考的重要考点。纵览最近今年高考试卷中的高考数学试卷,不难发现函数的单调性是近几年高考中的热点和难点,而导数是解决函数的单调性问题的有力工具。
函数的单调性问题是每年高考的必考点,简单的基本初等函数可以直接利用单调性定义解决,而较复杂的函数或者复合函数的单调性利用导数解决会更方便快捷。
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