已知函数f(x)=x+(1-a)/x﹣alnx,a∈R.
(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数;
(Ⅱ)如果区间[1,e](e=2.71828…)上总存在一点x0,
使x0+1/x0<a(lnx0+1/x0)成立,求a的取值范围.
解:(Ⅰ)f(x)=x+(1-a)/x﹣alnx,定义域为(0,+∞),
f′(x)=1﹣(1-a)/x2﹣a/x
=[x2-ax-(1-a)]/x2
=(x-1)[x-(a-1)]/x2,
①当0<a﹣1<1,即1<a<2时,
令f′(x)>0,解得:x>1或0<x<a﹣1,
令f′(x)<0,解得:a﹣1<x<1,
f(x)在(0,a﹣1)递增,
在(a﹣1,1)递减,
在(1,+∞)递增,
∴f(x)有2个极值点;
②a﹣1=1即a=2时,f′(x)≥0,
∴f(x)在(0,+∞)递增,
∴f(x)没有极值点;
③a﹣1>1即a>2时,令f′(x)>0,
解得:x>a﹣1或x<1,
令f′(x)<0,解得:1<x<a﹣1,
f(x)在(0,1)递增,
在(1,a﹣1)递减,
在(a﹣1,+∞)递增,
∴f(x)有2个极值点
④当a﹣1≤0,即a≤1时,令f′(x)>0,
解得:x>1,令f′(x)<0,解得:0<x<1,
∴f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,
∴f(x)有1个极值点;
综上:当1<a<2,或a>2时,
f(x)有2个极值点,
当a≤1时f(x)有1个最小值点;a=2时f(x)没有极值点;
(Ⅱ)由题意可知,在[1,e]上存在一点x0,
使x0+1/x0<a(lnx0+1/x0)成立,
即在[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)<0,
即函数f(x)在[1,e]上的最小值[f(x)]min<0,
①当a﹣1≥e,即a≥e+1时,
h(x)在[1,e]上单调递减,
∴[f(x)]min=f(e)=e+(1-a)/e﹣a<0,
∴a>(e2+1)/(e+1),
∵(e2+1)/(e+1)<e+1,
此时存在x0使f(x0)<0成立;
②当a﹣1≤1,即a≤2时,f(x)在[1,e]上单调递增,
∴[f(x)]min=f(1)=1+1﹣a≤0,
∴a≥2,故a=2
③当1<a﹣1<e,即2<a<e+1时,
∴[f(x)]min=f(a﹣1)=a﹣2﹣aln(a﹣1)<0,
∵0<ln(a﹣1)<1,
∴0<aln(a﹣1)<a,
∴0<f(a﹣1)<a﹣2,
此时存在x0使f(x0)<0成立.
综上可得所求a的范围是:a≥2.
考点分析:
利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用.
题干分析:
(Ⅰ)求出函数的定义域,函数的导函数,①a>﹣1时,②a≤﹣1时,分别求解函数的单调区间,从而求出极值点的个数;
(Ⅱ)转化已知条件为函数h(x)在[1,e]上的最小值[h(x)]min<0,利用第(1)问的结果,通过①a≤e﹣1时,②a≥0时,③1﹣e<a<0时,分别求解函数的最小值,推出所求a的范围.
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