已知函数f(x)=ax2/2﹣2lnx,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)已知点P(0,1)和函数f(x)图象上动点M(m,f(m)),对任意m∈[1,e],直线PM倾斜角都是钝角,求a的取值范围.
考点分析:
利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
题干分析:
(1)先求函数的定义域,然后求导,利用导数大于0或导数小于0,得到关于x的不等式,解之即可;注意解不等式时要结合对应的函数图象来解;
(2)因为对任意m∈[1,e],直线PM倾斜角都是钝角,所以问题转化为导数值小于0恒成立的问题,对于导函数小于0在区间[1,e]上恒成立,则问题转化为函数的最值问题,即函数f′(x)<0恒成立,通过化简最终转化为f(m)<1在区间[1,e]上恒成立,再通过研究f(x)在[1,e]上的单调性求最值,结合(Ⅰ)的结果即可解决问题.注意分类讨论的标准的确定.
解题反思:
本题重点考查不等式恒成立问题的基本思路,一般是转化为函数的最值问题,然后从函数的单调性入手分析,注意本题第二问讨论时的标准,一般要借助于函数图象辅助来解决问题.一方面利用了数学结合思想,同时重点考查了分类讨论思想的应用,有一定难度.
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