典型例题分析1:
若函数f(x)=(x2﹣ax+a+1)ex(a∈N)在区间(1,3)只有1个极值点,则曲线f(x)在点(0,f(0))处切线的方程为 .
解:f′(x)=ex[x2+(2﹣a)x+1],
若f(x)在(1,3)只有1个极值点,
则f′(1)f′(3)<0,
即(a﹣4)(3a﹣16)<0,
解得:4<a<16/3,a∈N,
故a=5;
故f(x)=ex(x2﹣5x+6),f′(x)=ex(x2﹣3x+1),
故f(0)=6,f′(0)=1,
故切线方程是:y﹣6=x,
故答案为:x﹣y+6=0.
考点分析:
利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
题干分析:
求出函数的导数,根据f′(1)f′(3)<0,得到关于a的不等式,求出a的值,从而计算f(0),f′(0)的值,求出切线方程即可.
典型例题分析2:
解:∵方程f(x)﹣ax=0恰有两个不同实数根,
∴y=f(x)与y=ax有2个交点,
又∵a表示直线y=ax的斜率,
∴x>1时,y′=1/x,
设切点为(x0,y0),k=1/x0,
∴切线方程为y﹣y0=1/x0(x﹣x0),
而切线过原点,∴y0=1,x0=e,k=1/e,
∴直线l1的斜率为1/e,
又∵直线l2与y=x/3+1平行,
∴直线l2的斜率为1/3,
∴实数a的取值范围是[1/3,1/e)
故选:B.
考点分析:
利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断.
题干分析:
由题意,方程f(x)=ax恰有两个不同实数根,等价于y=f(x)与y=ax有2个交点,又a表示直线y=ax的斜率,求出a的取值范围.
典型例题分析3:
若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的一条切线,则实数a=
考点分析:
利用导数研究曲线上某点切线方程.
题干分析:
设出切点坐标,求出函数的导数,利用导数的几何意义求出切线方程,进行比较建立方程关系进行求解即可.
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