冲刺高考数学 典型例题分析194：导数求函数的单调性和最值

典型例题分析：

已知函数f（x）=2x/lnx．

（1）求曲线y=f（x）与直线2x+y=0垂直的切线方程；

（2）求f（x）的单调递减区间；

（3）若存在x0∈[e，+∞），

使函数g（x）=aelnx+x2/2－（a+e）/2lnxf（x）≤a成立，

求实数a的取值范围．

解：（1）f（x）=2x/lnx，f′（x）=2（lnx－1）/（lnx）2，

设出切点坐标（a，2a/lna），

而曲线y=f（x）与直线2x+y=0垂直的切线的斜率k=1/2，

故2（lna－1）/（lna）2=1/2，

解得：a=e2，

故切点坐标是：（e2，e2），

故切线方程是：y﹣e2=（x﹣e2）/2，

即x/2﹣y+e2/2=0；

（2）f′（x）=2（lnx－1）/（lnx）2，

由f′（x）＜0，得0＜x＜1或1＜x＜e，

所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）和（1，e）；

（3）因为g（x）=aelnx+x2/2﹣（a+e）x，

由已知，若存在x0∈[e，+∞），

使函数g（x）=aelnx+x2/2﹣（a+e）/2lnxf（x）≤a成立，

则只需满足当x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可，

又g（x）=aelnx+x2/2﹣（a+e）x，

则g′（x）=（x－a）（x－e）/x，

a≤e，则g′（x）≥0在x∈[e，+∞）上恒成立，

∴g（x）在[e，+∞）上单调递增，

∴g（x）min=g（e）=﹣e2/2，

∴a≥﹣e2/2，

∵a≤e，

∴﹣e2/2≤a≤e，

a＞e，则g（x）在[e，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，

∴g（x）在[e，+∞）上的最小值是g（a），

∵g（a）＜g（e），a＞e，

∴满足题意，

综上所述，a≥﹣e2/2．

考点分析：

利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

题干分析：

（1）设出切点坐标，求出切线方程即可；

（2）求出函数的导数，由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，即可求出单调递减区间；

（3）由已知，若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）≤a成立，则只需满足当x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可．

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