典型例题分析:
已知函数f(x)=2x/lnx.
(1)求曲线y=f(x)与直线2x+y=0垂直的切线方程;
(2)求f(x)的单调递减区间;
(3)若存在x0∈[e,+∞),
使函数g(x)=aelnx+x2/2-(a+e)/2lnxf(x)≤a成立,
求实数a的取值范围.
解:(1)f(x)=2x/lnx,f′(x)=2(lnx-1)/(lnx)2,
设出切点坐标(a,2a/lna),
而曲线y=f(x)与直线2x+y=0垂直的切线的斜率k=1/2,
故2(lna-1)/(lna)2=1/2,
解得:a=e2,
故切点坐标是:(e2,e2),
故切线方程是:y﹣e2=(x﹣e2)/2,
即x/2﹣y+e2/2=0;
(2)f′(x)=2(lnx-1)/(lnx)2,
由f′(x)<0,得0<x<1或1<x<e,
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1,e);
(3)因为g(x)=aelnx+x2/2﹣(a+e)x,
由已知,若存在x0∈[e,+∞),
使函数g(x)=aelnx+x2/2﹣(a+e)/2lnxf(x)≤a成立,
则只需满足当x∈[e,+∞),g(x)min≤a即可,
又g(x)=aelnx+x2/2﹣(a+e)x,
则g′(x)=(x-a)(x-e)/x,
a≤e,则g′(x)≥0在x∈[e,+∞)上恒成立,
∴g(x)在[e,+∞)上单调递增,
∴g(x)min=g(e)=﹣e2/2,
∴a≥﹣e2/2,
∵a≤e,
∴﹣e2/2≤a≤e,
a>e,则g(x)在[e,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,
∴g(x)在[e,+∞)上的最小值是g(a),
∵g(a)<g(e),a>e,
∴满足题意,
综上所述,a≥﹣e2/2.
考点分析:
利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
题干分析:
(1)设出切点坐标,求出切线方程即可;
(2)求出函数的导数,由f′(x)<0得0<x<1或1<x<e,即可求出单调递减区间;
(3)由已知,若存在x0∈[e,+∞),使函数g(x)≤a成立,则只需满足当x∈[e,+∞),g(x)min≤a即可.
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