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必备技能!高中数学“函数值域”问题的求解一般方法与技巧

时间:2019-07-17 15:25:03

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1. 基本问题说明

“求函数值域”是常见的基础应用之一。

该基础应用或者独立出题,如直接求值域、最值等,或者与其它基础应用综合在一起出题,如恒成立、存在性问题等,其求解时一般需要先求出值域或最值。

2. 解决问题的一般方法

(1) 常见函数求值域一般方法(分类归纳总结)

① 一次/二次函数

a) 一次 – 利用“端点”范围;

b) 二次 – 利用“开口和对称轴位置”;或者利用配方法;

c) 含参时,要分类讨论。

② 对勾函数(原理 - 均值不等式)

y=ax + b/x(a>0, b>0);ax=b/x时,得其第一象限最值点(√(b/a), 2√ab)

③ 分式函数

a) 简单一次分式函数y=c/(ax+b)

先求分母,再求整体

b) 一般一次分式函数y=(cx+d)/(ax+b)

c) 二次分式函数

提示:判别式法,在满足条件——x的定义域为R时有通用的方法,即当分子或分母有二次,可两边同乘分母,再解判别式不等式即可得y的范围。

y=(ax2+bx+c)/x

直接除后,如果ac>0,可以用对勾函数求解;如果ac<0,可以用单调性求解(提示:此时ax和c/x有相同单调性)

y=x/(ax2+bx+c)

分子分母同除x,然后用上述一样思路求解即可。

y=(ax2+bx+c)/(dx+e)

换元t=dx+e,然后类似上述方法解答。

y=(dx+e) /(ax2+bx+c)

换元t=dx+e,然后分dx+e=0和0两种情况;不等于0时可按类似上述方法解答。

④ 根式函数

只有一个根式时,如y=x+√x, 可用换元法,t=√x;有些题也可用平方法——根式在一边,其余在等式另一边,再两边平方以去根号。提示:无论是换元还是平方,都要留意定义域的转化(传递要一致!)。

提示:其它常见基本初等函数,如反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等,可利用这些函数的性质、结合区间端点等去求解(详见相关主题,这里不再赘述)。

(2) 求值域的常用方法

① 直接法– 适用于函数或其图像特性易观察或得到

直接利用函数性质和定义域,通过观察、分析求出值域

② 配方法– 适用于二次函数及其复合函数

③ 判别式法– 适用于二次函数

④ 换元法– 适用于根式、三角情形

复合函数思想,由内而外,一层一层求值域;反之,如果给定值域,求其它(如参数值),则由外而内去求!

⑤ 反函数法 – 适用于反函数的定义域更方便求得或表示,如分母含一次函数的分式

反函数的定义域为原函数的值域。

⑥ 单调性法 – 适用于求复合函数的值域或最值

根据单调性和定义域范围求解

⑦ 导数法– 适用于导数易求、零点和单调性易分析的情形

导数是用来求极值点和单调性的更便捷且通用的方法!因此用来求某些题型值域时很方便,有时还可避免不必要的讨论。

因复合函数求导后式子看上去很复杂,为了避免这种情况出现,可先换元,或则考虑改用其它方法。

⑧ 数形结合法(又称图像法)– 适用于某些客观题求解,或作为上述方法的辅助

⑨ 不等式法

利用重要不等式及其性质来求解,如基本不等式(均值不等式)。

⑩ 参数方程法(详见例题)

提示:需要时,先对函数整理、变换(如分离常数),以看清函数的特征及其适用方法;

提示:需要时,可多种方法结合使用。

提示:在学过选修2-2的导数部分后,同学们会掌握一种更具普遍适用性的方法——通过导数法求极值、最值或值域。

3. 典型示例

例1求函数y = 1/(1+x^2)的值域。

解:(直接法)因为1+x^2大于1,所以0<1/(1+x^2 )≤1

所以函数的值域为(0,1]。

例2求函数y= √(x+1) + √(x-1)的值域

解:(单调性法)由题可知,该函数的定义域为[1, +∞)。

当x≥1时,该单数单调递增,而f(1)= √2

所以该函数值域为[√2,

讲解:

① 本题示例了利用单调性求解值域的一般方法

(1) 先确定定义域,得其端点;

(2) 说明其单调性(递增或递减);

(3) 代入端点得值域。

② 提示:端点或上、下界可以是∞。

例3 已知函数f(x)=(2x2+bx+c)/(x2+1)的值域为[1,3],求实数b,c的值。

讲解:

① 本题利用判别式法求解值域。提示:注意该通用方法的适用前提条件。

② 解题过程中,理解并将已知条件与判别式正确地联系起来是关键。

例4 求下列函数的值域:

(1) y=(2x+1)/(x-3),

(2) y=x+2√(1+x),

(3) y=(x^2-x+1)/(2x^2-2x+3)。

例5 求函数y=|x-3|-|x+1|的值域.

解:解法1:(数形结合法)可以分类

例6 求函数y=√(x-3) + √(5-x)的值域.

解:(平方法)函数定义域为:x∈[3,5]

y^2=(x-3) + (5-x) + 2√(-x^2+8x-15),

由x∈[3,5],得:(-x^2+8x-15)∈[0,1]

所以y^2∈[2,4],又y>0,

所以所求值域为[√2,2]。

例7 求函数y=x+√(1-x2)的值域

解:(参数方程法)

因为-1≤x≤1,设x=cosθ, θ∈[0, π],

y=cosθ+|sinθ|=cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)∈[-1,√2],

所以所求值域为[-1,√2]。

讲解:

例8函数y=x+1/x+1的值域

解:(基本不等式法)

当x>0时,x+1/x≥2,

所以y≥3,

当x<0时,x+1/x≤-2,

所以y≤-1,

综上可知,原函数值域为(-∞,-1)∪(3,+∞)。

例9求函数y=(4x+3)/(x^2+1)的值域。

本文小结:

① 本文论述了“函数值域"相关问题的求解一般方法与技巧。大家平时练习或作业中,应多加以应用和体会,查漏补缺,直至能够熟练掌握和应用这类问题的常用方法与技巧。

温馨提示:本文属于高中数学必修1第13讲。关注百家号“轻快学习课堂”,可阅读所有相关文章。

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