作者：尹豆（憨豆酒），联系我yindou97@，熟悉图形学，图像处理领域，本章代码：/douysu/computer-graphics-notes
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查了一下中文文章，几乎没有一篇介绍曲率原理并且计算曲率的文章。首先总结了一下曲率的原理，参考的内容有：图形学书籍、维基，和GitHub的项目。
参考内容:
[1] https://libigl.github.io/
[2] /wiki/曲率
[3] /wiki/PLY
[4] /alecjacobson/geometry-processing-curvature
[5] //03/mean-curvature-cavity-map-zbrush-and.html
[6] /web/1203195143/http://www.cs.princeton.edu/~diego/professional/rply/
[7]章毓晋.图像处理.北京:清华大学出版社,
1 曲率原理
什么是曲率？
曲率是描述几何体弯曲程度的量，例如三维曲面偏离平面的程度，或者二维曲线偏离直线的程度，也可确定曲面类型。常应用于几何分析，地理测绘等领域。
例如在材料学中，材料的催化活性主要与表面活性位点有关，而曲率影响活性位点的数量。
曲线P点切线：
曲线任意一点Q，PQ两点无限接近，所连直线为切线。
曲线P点曲率：曲线任意一点?_1, ?_2 ，三点确定一圆, ?_1, ?_2 无限接近P点，密切圆半径r的倒数为曲率。
平面结论：圆上弯曲程度相同，任意一点曲率相等，越弯曲曲率越大，直线曲率为0。
曲面曲率：
在曲面上取一点P，曲面在P点的法线为n，过n可以有无限多个剖切平面，每个剖切平面与曲面相交，交线为一条平面曲线。
不同的剖切平面上的平面曲线在P点的曲率半径一般是不相等的。
三维空间中的曲率：
主曲率：曲面上有无数个不同方向的曲线，曲面上的点不同方向具有不同曲率，其中最大值和最小值为称为主曲率 k1 和k2，极值方向称为主方向。数学上可证名k1和k2互相垂直。
高斯曲率：两主曲率乘积，反映曲面在不同方向弯曲程度是否相同。高斯曲率为正，为球面。高斯曲率为负双曲面。
平均曲率：两主曲率算数平均数(k1+k2)/2，反映曲面凹凸程度。平均曲率为正，局部凹。平均曲率为负，局部凸。
第一个图形的高斯曲率为负值，第二个为0，第三个为正数。
2 高斯曲率（G）和均值曲率（H）所确定表面类型：
通过高斯曲率和均值曲率的正负判断曲面类型。
3 曲率的计算
通过一段时间的调研，我发现使用此两种方式计算曲率比较多。具体链接就不给出了，google一下就可以看到教程了案例了。
（1）C++图形学几何处理库libigl
（2）三维几何处理系统MeshLab
4 本人使用的方式
我采用的第二种方式，使用MeshLab进行处理，得到曲率数据，保存到.ply文件中，在从.ply文件中提取曲率的值即可。这里我使用了Rply的框架进行ply的文件读取。
这里给出main.cpp的代码
#include <stdio.h> #include "rply.h"#include <fstream>#include <iostream>using namespace std;ofstream outfile;static int vertex_cb(p_ply_argument argument) {long eol;ply_get_argument_user_data(argument, NULL, &eol);float temp = ply_get_argument_value(argument);outfile << temp << endl;printf("%g", ply_get_argument_value(argument));if (eol) printf("\n");else printf(" ");return 1;}static int face_cb(p_ply_argument argument) {long length, value_index;ply_get_argument_property(argument, NULL, &length, &value_index);switch (value_index) {case 0:case 1:printf("%g ", ply_get_argument_value(argument));break;case 2:printf("%g\n", ply_get_argument_value(argument));break;default:break;}return 1;}int main(void) {outfile.open("mean_curvature_vertex.txt");long nvertices;p_ply ply = ply_open("Mean_01.ply", NULL);if (!ply) return 1;if (!ply_read_header(ply)) return 1; //运行检查nvertices = ply_set_read_cb(ply, "vertex", "x", vertex_cb, NULL, 0);ply_set_read_cb(ply, "vertex", "y", vertex_cb, NULL, 0);ply_set_read_cb(ply, "vertex", "z", vertex_cb, NULL, 0);ply_set_read_cb(ply, "vertex", "quality", vertex_cb, NULL, 1);//printf("%ld\n", nvertices);if (!ply_read(ply)) return 1;ply_close(ply);outfile.close();//关闭文件流getchar();return 0;}
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