世界上的一切事物，都是普遍联系、互相制约的。原因和结果是揭示事物、现象之间引起和被引起的内在相互关系的一对范畴。事实上，在数学上面，因果也有其相应的反映。
比如，已知有两只兔子，那么问这两只兔子有几只脚？兔子是因，求有几只脚是果。简单的算术大概如此。但如果已知结果，比如笼中不知鸡有几只，但知道有十只脚，问鸡的个数？这里面便是已知结果，求原因。但原因未知啊？怎么办，便假设鸡为 x，列等式 2*x=10，于是知道有 5 只鸡。这便产生了代数。随之有一个问题，就是一只鸡两只脚，两只鸡四只脚，三只鸡六只脚……那我有 134 只鸡，有多少只脚呢?没错，有 134*2=268 只。这里面似乎存在固定的关系，就是无论鸡的个数怎么变，脚的个数都是相应确定的，令鸡为 x，则脚 y=2*x，这就是函数。这里，x 为自变量，y 为因变量，y 因 x 的变化而变化。反之，我们有 x=y/2，这时，x 就可以看成因变量，y 就可以看成自变量。
实际上，自然界中各种物体和各种现象是有机地相互关联、彼此依赖的。最简单的不变关系，很早就有人研究，关于这类关系的知识逐渐积累起来，形成物理的定理，它指出了在数量上描述某些现象的几个不同的量是紧密地互相关联的，一个量完全决定于其他的量的值。类似的规律性就是函数的根源。如自由落体运动中物体所经历的路程 s=（gt2）/2 ，圆的面积与圆半径的关系 S=πr2 等。用形式化语言定义就是 y=f(x)，即 y 是 x 的函数，表明了变量 x 对 y 的决定性。在函数关系中，有一个地方需要指出，就是 y、x 分别属于什么数系。比如上述鸡的脚数与鸡之间的函数关系 y=2*x 中 x，y 都是正整数。而 s=（gt2）/2是在实数范围内都成立。
上述是从自然界中变量之间的相互关系中来讨论函数。实际上，在一般教科书上，我们经常会基于集合论通过映射来定义函数。何谓映射？就是对于一个集合中的某个元素（通常是数），通过某种关系法则，总可以在另一个集合中找到唯一的元素与之对应。打个比方，外界事物通过眼睛的瞳孔而在视网膜上成像，那么外界事物就相当于一个集合中的某个元素，而瞳孔就相当于关系、法则，而视网膜上所呈的像就如在另一个集合当中的与外界事物唯一对应的元素。
函数的性质有很多，比如单调性、奇偶性、周期性等，这在初高中都学习过，它们研究的是因变量随着自变量变化的某种状态的描述。这些在几何上可以直观判断，但要确认仍需要扎实地根据函数证明。
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