肿瘤康复网 > 非参数检验——Wilcoxon 检验 Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验

非参数检验——Wilcoxon 检验 Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验

时间：2022-01-21 23:25:03

相关推荐

最近看论文，看到了Wilcoxon signed-rank test（符号秩检验），咱也不知道是个啥，就学习了一下，这里做一下笔记，方便以后查阅。

非参数检验——Wilcoxon 检验

非参数检验概念非参数检验和参数检验的对比参数检验与非参数检验的方法对比非参数检验的方法Wilcoxon 检验Wilcoxon rank-sum test（秩和检验）基本概念应用实例编程实现Wilcoxon signed-rank test（符号秩检验）基本概念应用实例编程实现Wilcoxon 符号秩检验临界表Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验计算序值Friedman 检验Nemenyi 后续检验Python实现参考资料

非参数检验

概念

数据描述的三个角度：集中趋势，离散程度和分布形态。

常用统计推断检验方法分为两大类：参数检验和非参数检验。

参数检验通常是假设总体服从正态分布，样本统计量服从T分布的基础之上，对总体分布中一些未知的参数，例如总体均值、总体方差和总体标准差等进行统计推断。

如果总体的分布情况未知，同时样本容量又小，无法运用中心极限定理实施参数检验，推断总体的集中趋势和离散程度的参数情况。这时，可以用非参数检验，非参数检验对总体分布不做假设，直接从样本的分析入手推断总体的分布。

非参数检验和参数检验的对比

① 适用范围：

非参数检验用作参数检验的替代方法，当数据不满足正态性时，将使用非参数检验。因此，关键是要弄清楚是否具有正态分布。如果数据大致呈现"钟型"分布，则可以使用参数检验。

② 检验效能：

如果数据满足参数分布，应该优先选择参数检验方法。愿因在于参数检验的检验效能要高于非参数检验。尤其是在样本数较大的情况下，参数检验结果较为稳健，所以即使不服从正态分布，也会选择参数检验。

③ 对比指标：

参数检验一般用平均值反映数据的集中趋势；但由于数据不满足正态分布，在非参数检验中如果再使用平均值描述显然不太准确（比如常被吐槽的人均收入），此时中位数是更好的选择。

参数检验分析结果

参数检验用平均值及标准差描述数据分布请况。

非参数检验分析结果

非参数检验结果中使用的是中位数描述差异。

④ 图形展示：

除了使用以上指标进行分析，还可以通过图形直观展示数据情况。参数检验常用图形有：折线图、条形图等，非参数检验可以使用箱线图查看。

折线图箱线图

参数检验与非参数检验的方法对比

凡是在分析过程中不涉及总体分布参数的检验方法，都可以称为“非参数检验”。因而，与参数检验一样，非参数检验包括许多方法。以下是最常见的非参数检验及其对应的参数检验对应方法：

非参数检验的方法

非参数检验的方法是五花八门，名字也是千奇百怪，但是，这些方法有它们的共性。

上面介绍了，因为对总体的分布形态不清楚或总体分布不是正态分布，所以无法用参数检验来推断总体的集中趋势和离散程度的参数。

统计学家想到用排秩（排序）的方法来规避不是正态分布的问题，用样本的排序情况来推断总体的分布情况。这就好比梁山一百单八将排好了座次，从中随机抽出几个，测试武力值，大概其能够了解梁山的实力如何。

下图是非参数检验常用的检验方法表:

Wilcoxon 检验

Frank Wilcoxon(1892—1965) 是美国的统计学家，发表了 70 篇左右论文，但其最大的贡献就是这 2 个以他名字命名的非参假设检验方法：秩和检验和符号秩检验。他在 1945 年发表的论文 1 中将二者分别称为非成对检验（unpaired experiment）和成对检验（paired comparison）。正是因为其巨大影响力使得这两个检验方法都以他的名字命名，并流传下来。

Wilcoxon rank-sum test（秩和检验）

基本概念

在统计学中，Wilcoxon rank-sum test（威尔科克森秩和检验）也叫Mann-Whitney U test（曼-惠特尼 U 检验），或者 Wilcoxon-Mann-Whitney test。秩和检验是一个非参的假设检验方法，一般用来检测 2 个数据集是否来自于相同分布的总体。

这里的“秩”其实就是“排名”的意思，“秩和” 当然就是指 “将排名进行求和” 的操作。在秩和检验中，我们不要求被检验的 2 组数据包含相同个数的元素，换句话说，秩和检验更适用于非成对数据之间的差异性检测。

应用实例

假设我们有 2 组数据x1x_{1}x1和x2x_{2}x2，如下表所示，x1x_{1}x1中有 7 个元素（列 x1x_1x1中），x2x_{2}x2中有 8 个元素（列x2x_{2}x2中），现在使用秩和检验判断这 2 组数据是否存在显著性差异。

步骤 1：我们首先将x1x_{1}x1和x2x_{2}x2整合成一个序列，并按升序重新排序，序号记在表中的rankrankrank列当中。我们分别计算 2 组数据的排名之和R1R_{1}R1和R2R_{2}R2有：

注意，当我们计算若干等值元素的排名时，会用这些元素排名的平均值作为它们在整个序列中的排名。例如x1x_{1}x1中的第 2 个元素与x2x_{2}x2中第3 个元素的值都等于 5，且这 2 个 5 在整个序列中的排名分别是第 5 和第 6，因此这两个元素的排名为5+62=5.5\frac{5+6}{2}=5.525+6=5.5 。其余等值元素的排名计算也与之类似。

步骤 2：令n1n_{1}n1和n2n_{2}n2分别表示 2 组数据的个数，即n1=7n_{1}=7n1=7, n2=8n_{2}=8n2=8。再令 T TT 表示小样本的排名和，即 T=R1=77.5T = R_1 = 77.5T=R1=77.5。根据计算公式可得U1U_{1}U1和U2U_{2}U2的值如下：

步骤 3：由于U1U_{1}U1更小，我们依此来查 Wilcoxon 双尾临界表，当 α=0.05,n1=7,n2=8α = 0.05 , n_1 = 7 , n_2 = 8α=0.05,n1=7,n2=8时的临界值是 10。因为U1<10U_{1} < 10U1<10，故应该拒绝原假设。

最终结论是：x1x_{1}x1和x2x_{2}x2存在统计意义上的显著性差异，它们可能来自分布不同的总体。

编程实现

在 python 中我们调用 scipy 包来里的stats.mannwhitneyu()函数来实现秩和检验，如下代码：

from scipy import statsx = [9,5,8,7,10,6,7]y = [7,4,5,6,3,6,4,4]def wilcoxon_rank_sum_test(x, y):res = stats.mannwhitneyu(x ,y)print(res)wilcoxon_rank_sum_test(x, y)wilcoxon_rank_sum_test(y, x)

Wilcoxon signed-rank test（符号秩检验）

基本概念

Wilcoxon signed-rank test（威尔科克森符号秩检验）也是一种非参的假设检验方法，它成对的检查 2 个数据集中的数据（即 paired difference test）来判断 2 个数据集是否来自相同分布的总体。

应用实例

假设我们有 2 组数据y1y_{1}y1和y2y_{2}y2，如下表所示。我们按照如下 3 步来计算 wilcoxon signed-rank test 的结果。

步骤 1：首先对y1y_{1}y1和y2y_{2}y2两两成对配对形成 10 个数据对（即ID=0,...,9ID=0,...,9ID=0,...,9），然后将这 10 个数据对两两求差，得到符号位signsignsign列。具体的做法是：当y1y_1y1元素比y2y_2y2对应元素大时，符号位为正，即 +1+1+1；当y1y_1y1元素比y2y_2y2对应元素小时，符号位为负，即 −1-1−1。例如，在ID=1ID=1ID=1的数据对中，125>110125 > 110125>110，故其符号位为 +1+1+1.

步骤 2：首先对y1y_{1}y1和y2y_{2}y2两两成对求差得到绝对值absabsabs列，然后根据absabsabs列排序得到rankrankrank列。当某一对y1y_{1}y1和y2y_{2}y2的元素相等时，即abs=0abs=0abs=0时，我们不计算其rankrankrank值。例如，在ID=4ID=4ID=4的数据对中，y1y_1y1和y2y_2y2的值都是 140，因此这对数组没有排名值。

步骤 3：有了这个signsignsign和rankrankrank列的结果后，我们就可以来计算秩和了，其中大于 0 的秩和W+W^{+}W+和对于小于 0 的秩和W−W^{-}W−，以及最终的符号秩和∣W∣|W|∣W∣如下所示，

步骤 4：最后我们根据 ∣W∣|W|∣W∣ 来查表，我们得到当 Wilcoxon 在α=0.05\alpha=0.05α=0.05 n=9n = 9n=9的时候的临界值是 5，而我们计算出来的∣W∣=9>5|W| = 9 > 5∣W∣=9>5，因此我们不能拒绝原假设。最终结论是：y1y_{1}y1和y2y_{2}y2不存在统计意义上的显著性差异，它们可能来自于同一分布的总体。

编程实现

在 python 中我们调用 scipy 包来里的 stats.wilcoxon() 函数来实现秩和检验，如下代码，

from scipy import statsx = [125,115,130,140,140,115,140,125,140,135]y = [110,122,125,120,140,124,123,137,135,145]def wilcoxon_signed_rank_test(x, y):res = stats.wilcoxon(x ,y)print(res)wilcoxon_signed_rank_test(x, y)wilcoxon_signed_rank_test(y, x)

得到的结果如下，其中 statistic=18.0statistic = 18.0statistic=18.0，表示 2 类符号秩和较小的一个（∣W+|W^{+}∣W+和∣W−∣|W^{-}|∣W−∣最小的是181818）；pvalue=0.5936…pvalue=0.5936…pvalue=0.5936… 就是我们需要的 p−valuep-valuep−value 值。之所以出现 Warning 信息是因为我们的数据量太少，一般来讲大于 20 是比较合适做假设检验的。

Wilcoxon 符号秩检验临界表

10月12日更新：

我太难了，又看到了Friedman算法，这是个啥，不知道啊，接着学习吧，记录一下！

Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验

当我们提出一种算法，需要知道我们的算法和现在已有的算法相比，性能是否更优的时候，就需要用到模型性能评估的方法。

Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验方法的特点是：可以进行多个算法的比较。

计算序值

假定我们用D1、D2、D3D_1、D_2、D_3D1、D2、D3和D4D_4D4四个数据集对算法AAA、BBB、CCC进行比较。

首先需要得到每个算法在每个数据集上的测试结果，可以是准确率，也可以是均方误差，然后在每个数据上根据测试性能的好坏进行排序，并赋予序值 1，2，…。

如果算法的测试性能相同，则评分排名。

比如，在D1D_1D1和D3D_3D3上，AAA 最好、BBB次之，CCC 最差，而在D2D_2D2 上AAA 最好BBB和CCC性能相同，…，则可以列出如下表所示的序值表，对每一列的序值进行求平均，得到平均序值。

Friedman 检验

使用 Friedman 检验来判断这些算法是否性能相同。如果相同，则他们的平均序值应该相等。

假定我们在NNN个数据集上比较kkk个算法，令rir_iri表示第iii个算法的平均序值。为简化讨论，暂时不考虑平分序值的情况，则rir_iri服从正态分布，其均值和方差分别为(k+1)/2(k+1)/2(k+1)/2和(k2−1)/12(k^2-1)/12(k2−1)/12。变量

在kkk和NNN都较大时，服从自由度为k−1k-1k−1 的χ2\chi^2χ2分布。

然后，上述的这样的 “原始 Friedman 检验” 过于保守，现在通常使用变量

其中，τF\tau_FτF服从自由度为k−1k-1k−1和(k−1)(N−1)(k-1)(N-1)(k−1)(N−1)的FFF分布。常用的临界值可以见下表。

若 “所有算法的性能相同” 这个假设被拒绝，则说明算法的性能显著不同。

Nemenyi 后续检验

这个时候就需要使用 “后续检验”（post-hoc test）来进一步区分算法。常用的算法是 Nemenyi 后续检验。

Nemenyi 检验计算出平均序值差别的临界值域

下表给出了α=0.05\alpha = 0.05α=0.05和0.10.10.1时常用的qαq_\alphaqα值。

若两个算法的平均序值之差超出了临界值域#CD# ，则以相应的置信度拒绝 “两个算法性能相同” 这一假设。

Python实现

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef Friedman(n, k, data_matrix):'''Friedman 检验:param n:数据集个数:param k: 算法种数:param data_matrix:排序矩阵:return:T1'''# 计算每个算法的平均序值row, col = data_matrix.shape # 获取矩阵的行和列xuzhi_mean = list()for i in range(col): # 计算平均序值xuzhi_mean.append(data_matrix[:, i].mean()) # xuzhi_mean = [1.0, 2.125, 2.875] list列表形式sum_mean = np.array(xuzhi_mean) # 转成 numpy.ndarray 格式方便运算sum_ri2_mean = (sum_mean ** 2).sum() # 整个矩阵内的元素逐个平方后，得到的值相加起来result_Tx2 = (12 * n) * (sum_ri2_mean - ((k * ((k + 1) ** 2)) / 4)) / (k * (k + 1)) # P42页的公式result_Tf = (n - 1) * result_Tx2 / (n * (k - 1) - result_Tx2) # P42页的公式return result_Tfdef nemenyi(n, k, q):'''Nemenyi 后续检验:param n:数据集个数:param k:算法种数:param q:直接查书上2.7的表:return:'''cd = q * (np.sqrt((k * (k + 1) / (6 * n))))return cddata = np.array([[1, 2, 3], [1, 2.5, 2.5], [1, 2, 3], [1, 2, 3]])T1 = Friedman(4, 3, data)cd = nemenyi(4, 3, 2.344)print('tf={}'.format(T1))print('cd={}'.format(cd))# 画出CD图row, col = data.shape # 获取矩阵的行和列xuzhi_mean = list()for i in range(col): # 计算平均序值xuzhi_mean.append(data[:, i].mean()) # xuzhi_mean = [1.0, 2.125, 2.875] list列表形式sum_mean = np.array(xuzhi_mean)# 这一句可以表示上面sum_mean： rank_x = list(map(lambda x: np.mean(x), data.T)) # 均值 [1.0, 2.125, 2.875]name_y = ["A1", "A2", "A3"]# 散点左右的位置min_ = sum_mean - cd / 2max_ = sum_mean + cd / 2# 因为想要从高出开始画，所以数组反转一下name_y.reverse()sum_mean = list(sum_mean)sum_mean.reverse()max_ = list(max_)max_.reverse()min_ = list(min_)min_.reverse()# 开始画图plt.title("Friedman")plt.scatter(sum_mean, name_y) # 绘制散点图plt.hlines(name_y, max_, min_)plt.show()