§6.5 对称矩阵，实特征值，正交特征向量
Symmetric Matrices, Real Eigenvalues, Orthogonal Eigenvectors
MIT公开课《微分方程和线性代数》6.5 对称矩阵、实特征值和正交特征向量
在线性微分方程组中会遇到对称矩阵
，对称矩阵的特征值和特征向量具有特别的性质，即特征值为实数，并且特征向量相互正交。
与之相对，反对称矩阵
的特征值为纯虚数，特征向量也互相正交，但它们包含复数元素，即使反对称矩阵的元素都是实数，其特征向量也是复数的。
对于满足
的正交矩阵Q，其所有特征值的模长 ，特征向量也是复数的，并且相互正交。
例：
， ， ， 。
对称矩阵S的特征值为
。特征向量为 , 。
反对称矩阵A的特征值为
。特征向量为 , 。
矩阵B=A+3I的特征值为
。特征向量为 , 。
正交矩阵Q的也是矩阵A的变体，除去归一化的因子
，其矩阵等于A+I，因此其特征值为为 ，它的特征值都处在单位圆之上，并且为共轭复数，其特征向量为 , 。复数、复向量和复矩阵
若有复数
，，则它的模为 ，其中 为λ的共轭复数。
对于复向量x，它的长度
。例如 ，其长度 。而复向量的正交性则通过 来判定。
对于实矩阵，我们寻找对称矩阵
。而对于复数矩阵，则寻找埃尔米特矩阵（Hermitian Matrix） ，对矩阵中的元素不仅取转置还要取共轭，例如矩阵 为埃尔米特矩阵，矩阵的转置并求共轭也记做 。
§6.5b 二阶常微分方程组
Second Order Systems
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本讲介绍二阶常微分方程组
。其中S为对称矩阵满足。方程中没有阻尼项，且等号右侧没有外力项，因此所求解函数为匹配初值的零解。
例如振荡方程
，其中M为质量矩阵，而K为刚性矩阵。在实际应用中，第一步就是建立方程，即确定这些参数矩阵。
所寻找的解函数形如
，带入原方程可得 ，整理可得 ，这就变成了特征值和特征向量的问题。这是一个包含两个矩阵的问题，在MATLAB中可以用eig(K,M)命令搞定，其实大多数实际的情况中，质量矩阵M是常数乘以单位阵cI。
对于二阶常微分方程组
，通常给定的初值包含y(0)和y'(0)，这两个向量包含2n个初值，因此需要2n个解函数与之相匹配。
例：
二阶微分方程组
描述了三个重物的运动，因此方程数为n=3。弹簧重物组中三个重物彼此之间以及和上下固定表面之间均以弹簧相连。设定三个重物质量相等，则有M=mI。方程组的解就是重物的运动轨迹，即位移随时间的变化。方程等式右侧为零，代表没有外力项在运动过程中给弹簧重物组注入新能量，物体的运动模式为纯简谐振动，但是这些振荡是相互耦合的。
刚度矩阵
，令 则 变为 。
刚度矩阵中的参数来自于重物上下的弹簧的伸长量，例如重物1受到来自于上下两个弹簧的作用，上方弹簧的作用力为 ，下方弹簧作用力为 ，则合力 。其它两组以此类推。
解函数为
，是六个解的线性组合。
代入t=0可知解函数中的余弦函数的三个参数A和初值y(0)相匹配，而正弦函数的三个参数B则和y'(0)相匹配。
例：
。
方程描述了具有两个重量为m的重物构成的弹簧重物组。矩阵
的特征值为 。
如果给定的初值状态是在t=0时刻，将m1和m2两个重物设置在某一特定位置，则初值中给出了初始位移，但是初始的速度为0，即y'(0)=0，因而可知解函数中的两个参数B均为0。则解函数为
，其中参数受初始位移y(0)控制。从解函数中两个特征向量可以看出，有两种基本的运动模式，其一就是两物体同相振动（m1和m2以相同的相位振动），对应解函数中的第一项，其二就是相向运动，对应解函数中的第二项，而第二项的运动频率较高，重物的运动模式就是低频的同向运动和高频的相向运动的组合。如果是三个重物组成的弹簧重物组，则是三种模式的运动的叠加。
实对称矩阵的特征值求法_MIT—微分方程与线性代数笔记6.5 对称矩阵 实特征值 正交特征向量...
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