一、
如果：AAT=EAA^T=EAAT=E（E为单位矩阵，ATA^TAT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=EA^TA=EATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件：
(1) ATA^TAT是正交矩阵
(2) E为单位矩阵
(3) A的各行是单位向量且两两正交
(4) A的各列是单位向量且两两正交
(5) ∣A∣=1|A|=1∣A∣=1或−1-1−1，abs(A)=1abs(A)=1abs(A)=1
(6) AT=A−1A^T=A^{-1}AT=A−1
(7) 正交矩阵通常用字母Q表示。
二、特征向量的长度限制为1，这些特征向量组成的矩阵，首先，这些特征向量是单位向量，其次，这些特征向量是正交的。
三、内积是向量的一种运算。
（1）向量的数量积（点积）：aaa和bbb都是列向量，有a⋅b=∣a∣×∣b∣×cosθa·b = |a| × |b| × cosθa⋅b=∣a∣×∣b∣×cosθ，这2个向量是2维或3维。
在3维空间中
(x1,x2,x3)⋅(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3(x_1,x_2,x_3)·(y_1,y_2,y_3)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3(x1,x2,x3)⋅(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3
（2）内积是数量积的一种推广，用内积来定义n维向量的长度和夹角
(a⋅b)=∑i=1naibi=a1b1+a2b2+...+anbn(a·b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n(a⋅b)=i=1∑naibi=a1b1+a2b2+...+anbn
（3）n维向量xxx的长度(或模)=∣∣x∣∣=x12+x22+...+xn2||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}∣∣x∣∣=x12+x22+...+xn2，当∣∣x∣∣=1||x||=1∣∣x∣∣=1时，称xxx为单位向量。
（4）向量标准化
当x≠0时，x∣∣x∣∣x \neq 0时，\frac{x}{||x||}x̸=0时，∣∣x∣∣x是一个单位向量，称这一运算为将向量xxx标准化或单位化。
(5)向量夹角
cosθ=x⋅y∣∣x∣∣×∣∣y∣∣cos\theta=\frac{x·y}{||x||\times ||y||}cosθ=∣∣x∣∣×∣∣y∣∣x⋅y
x⋅y=0x·y=0x⋅y=0表示x和yx和yx和y正交，当x=0或y=0x=0或y=0x=0或y=0则向量内积正交，零向量与任何向量都正交。
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