典型例题分析1:
已知f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f(x),若2f(x)﹣f(x)<2,f(0)=,则不等式f(x)>e2x+1(其中e为自然对数的底数)的解集为.
解:设g(x)=e﹣2xf(x)﹣e﹣2x,
则g′(x)=﹣2e﹣2xf(x)+e﹣2xf′(x)+2e﹣2x
=﹣e﹣2x[2f(x)﹣f′(x)﹣2],
∵2f(x)﹣f(x)<2,
∴g′(x)>0,
∴g(x)在R上单调递增.
∵f(x)>e2x+1,
∴e﹣2xf(x)>+e﹣2x,即g(x)>,
∵g(0)=f(0)﹣1=,
∴x>.
故答案为.
考点分析:
函数的单调性与导数的关系.
题干分析:
构造函数g(x)=e﹣2xf(x)﹣e﹣2x,则g′(x)>0,g(x)单调递增,不等式f(x)>e2x+1两边同乘e﹣2x得出g(x)>,从而得出x的范围.
典型例题分析2:
已知函数f0(x)=(cx+d)/(ax+b)(a≠0,ac﹣bd≠0),设fn(x)为fn﹣1(x)的导数,n∈N*.
(1)求f1(x),f2(x)
(2)猜想fn(x)的表达式,并证明你的结论.
考点分析:
数学归纳法;导数的运算.
题干分析:
(1)利用条件,分别代入直接求解;
(2)先说明当n=1时成立,再假设n=K(K∈N*)时,猜想成立,证明n=K+1时,猜想也成立.从而得证.
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